Назим Сулейманов родился 17 февраля 1965 г. в городе Сумгаит. Дебютировав в 17 лет в команде «Завода Синтетического Каучука», Сулейманов позднее был привлечён в состав клуба «Автомобилист» (Мингечевир), выступавшего в 9-й зоне второй лиги чемпионата СССР.  Благодаря своей уверенной игре Назим был приглашён в главную команду Азербайджана – «Нефтчи». Футболист, выступивший в черно-белой форме с 1983 г. по 1990 г., забил 32 гола в 190 матчах.

Наиболее успешные годы карьеры Назима Сулейманова связаны с его выступлением в чемпионате России. В 1991 г. футболист, перешедший из московского «Спартака» во владикавказскую «Аланию», завоевал в составе этой команды в 1995 году золотую, а в 1992 и 1996 годах – серебряную медаль российского чемпионата. Забив 60 голов в 142 матчах в составе «Алании», Сулейманов попал в историю как самый результативный футболист чемпионата. В 1997 г. он перешёл в клуб «Жемчужина» из Сочи, и в составе этой команды забил 13 голов в 67 матчах.

Назим Сулейманов завершил карьеру в 2000 году. В период с 1992 г. по 1999 г. он играл за национальную команду, и забил 5 мячей в 24 играх. 

В 2002 г. Сулейманов начал свою тренерскую карьеру, и был назначен тренером дублёров команды «Жемчужина» из Сочи, выступавшей в чемпионате России.  Его команда заняла 9-е место в Южной зоне. Вернувшись на родину в 2004 г., специалист был назначен главным тренером новосозданной команды «Хазар-Лянкяран». Потренировав эту команду один сезон, Назим Сулейманов временно перешёл за штурвал национальной команды Азербайджана, затем перешёл в футбольный клуб «Бакы». Специалист, тренировавший команду дублёров столичного представителя, в 2009-2011 гг. тренировал команду АЗАЛ. Под его руководством клуб с ограниченным бюджетом завоевал путёвку в Лигу Европы. В 2012-2013 гг. Назим Сулейманов работал тренером сборной Азербайджана, а в 2013 г. был главным тренером «Нефтчи».